MA1101 Grunnkurs i analyse I

Pensum er de deler av læreboken som blir listet i fremdriftsplanen, alle øvinger og innleveringer, samt forelesningene. Oversikten nedenfor er foreløpig og ment som en veiledning for den som ønsker lese i forkant. For repetisjon, anbefalles i første rekke å repetere øvinger og forelesninger. I tidligere eksamen bør man se på oppgaver over mange år (se eventuelt også på MA1102 for Taylor og andre oppgaver som har variert mellom emnene i løpet av årene). Det gis normalt ikke separat formelark på eksamen: de viktigste formlene er nevnt nedenfor.

• Mengder og operasjoner på mengder.
• Mengdene \(\mathbb N\), \(\mathbb Z\), \(\mathbb Q\), \(\mathbb R\).
• Intervaller (åpne, lukkede, halvåpne), avstand, begrensninger (skranker), supremum, infimum.
• Kompletthetsaksiomet for reelle tall.
• Trekantulikheten.

• Følger \((x_j)_{j \in {\mathbb N}}\).
• Limesbegrepet for følger, endelige og uendelige grenseverdier.
• Endelige grenseverdier for reelle funksjoner: \(f(x) \to L\) når \(x \to x_0\) via følger, henholdsvis via \(\varepsilon/\delta\).
• Uendelige grenseverdier for reelle funksjoner, og grenseverdier i uendeligheten.
• Begrepene konvergens, divergens.
• Regneregler for grenseverdier; skviseteoremet.
• Kontinuitet for reelle funksjoner; venstre- og høyrekontinuitet.
• Deriverte, høyre- og venstrederiverte.
• Uniform kontinuitet.
• Produkt- og kjerneregelen (og grunnleggende regler derivasjonsregler for summer, kvoter og sammensetninger av elementære funksjoner).
• L'Hôpitals regel.

• Endelig summasjon.
• Teleskoperende summer.
• Summen \(\sum_{j=1}^n j = \frac{n(n+1)}{2}\) (inklusive noen bevisteknikk for slike summer).
• Rekker \(\sum_{j \in {\mathbb N}} a_j\) og deres delsummer \(s_n = \sum_{j = 1}^n a_j\).
• Divergens av den harmoniske rekken.
• Geometriske summer og potensrekker.

• Funksjonsbegrepet. Definisjonsmengde (domene) og naturlig definisjonsmengde, målmengde (kodomene) og verdimengde (bilde).
• Injektivitet, surjektivitet, og bijektivitet. Begrepet omvendt funksjon.
• Ekstremalverdisetningen.
• Skjæringsetningen.
• Kontinuitet til deriverbare funksjoner.
• Middelverdisetningen.
• Omvendte funksjonsetningen.
• Lineariseringen til en funksjon i punktet \(x_0\) i retning \(h\).
• En variant av Taylors setning. Begrepet Taylorpolynom.
• Første- og andrederivertetesten, ekstremalverdiproblemer på begrensede og ubegrensede intervall.
• Tangenten og normalen til en funksjon (til grafen av en funksjon) i et punkt \(x_0\).
• Asymptoter til funksjoner; graffremstilling.

• De trigonometriske funksjonene \(\sin\), \(\cos\), \(\tan\), \(\arcsin\), \(\arccos\), \(\arctan\): domene, bilde og deriverte.
• De hyperbolske funksjonene \(\sinh\), \(\cosh\), \(\tanh\): domene, bilde og deriverte.
• Eksponensialfunksjonen \(\exp \colon x \mapsto e^x\): domene, bilde og deriverte. Taylorrekke og differensiallikning \(f' = f\), \(f(0) = 1\).
• Den naturlige logaritmen \(\ln\): domene, bilde og deriverte.
• Regneregler for potenser og (naturlige) logaritmer.
• Formlene \(\sin(2x) = 2 \sin (x) \cos(x)\), \(\cos^2(x) = \frac{1 + \cos(2x)}{2}\), \(\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1\), \(\cosh^2(x) - \sinh^2(x) = 1\).
• Verdier for \(\sin(x)\) og \(\cos(x)\) i \(x = \frac{n\pi}{4}\), \(n \in \mathbb{N}\).
• Omvendte transcendentale funksjoner, spesielt \(\mathrm{asin}\), \(\mathrm{atan}\) og \(\mathrm{asinh}\) som brukes ved integrasjon.
• Grenseverdier ('hastigheter') i origo og uendeligheten av kvotienter med \(\ln\), \(\mathrm{exp}\), \(\sin\) og polynomer.
• Å kjenne igjen Taylorutviklingene til \(\sin\), \(\cos\) og \(\mathrm{exp}\) i origo.

• Middelverdisetning for integraler.
• Analysens fundamentalteorem.
• Integrerbarhet til (stykkevis) kontinuerlige funksjoner.
• Middelverdien \(\bar f\) til en funksjon over et intervall \([a,b]\).
• Variabelskifte i integraler (obs. at såkalt omvendt substitusjon bare er en variant av vanlig substitusjon).
• Delvis integrasjon.
• Delbrøksoppspaltning. Kunne hantere termer av typen\( \frac{P(x)}{(x-a)^2(x-b)((x-c)^2 + d)}\) for noe polynom \(P\).
• Å kunne integrere integrander med faktorer av typen \(a \pm bx^2\) og \(\sqrt{a \pm bx^2}\) i nevner.
• Uegentlige integraler (ubegrensete intervaller).
• Numerisk integrasjon: grunnleggende kjennskap til trapezoid- og Simpson's regel, å kunne utføre dem ved hjelp av formel.

• Klassifisering av første ordens ordinære differensiallikninger: (ikke)separable, (ikke)homogene.
• Partikulærløsning og homogen løsning. Å kunne løse ved integrerende faktor og ved separasjon av variabler. Å kunne løse noen likninger som ikke direkte passer inn i systemene (se øvinger).
• Å forstå forskjellen mellom, og kunne håndtere, initialverdiproblemer og differensiallikninger uten initialverdier.

• Preliminaries
• 1.2–1.5
• 2.2–2.10 (første to avsnitt i 2.10)
• 3.1, 3.2 (kursorisk), 3.3–3.6
• 4.1, 4.3–4.6, 4.8 (kursorisk), 4.9–4.10
• 5.1, 5.3 (kursorisk), 5.4, Thm 5 i 5.5, 5.6, 5.7 (å kunne regne areal fra integraler).
• 6.1–6.3, 6.5–6.7 (grunnleggende kjennskap til trapes- og Simpson's metode).
• 7.9
• 9.1
• 18.1, 18.2
• Appendix III, IV