** Temaside for TMA4240/TMA4245 Statistikk **
** Begreper, definisjoner og tolkninger **
====== Stokastiske variabler og sannsynlighetsfordelinger ======
~~NOTOC~~
En stokastisk variabel er formelt sett en funksjon fra et utfallsrom \(S\)
til tallinja. Vi kan også tenke på en stokastisk variabel som en
variabel som får en tallverdi når vi gjør et stokastisk forsøk. Hvilken
verdi den stokastiske variabelen får er underlagt tilfeldigheter. Vi
kan derfor beskrive egenskapene til den stokastisk variabelen ved å angi med
hvilke sannsynligheter den stokastiske variabelen tar ulike verdier. Dette
kalles sannsynlighetsfordelingen til den stokastiske variabelen.
**Introduksjonsvideo**: [[https://mediasite.ntnu.no/Mediasite/Play/96517566bd5f4e989c628563e16959121d?catalog=8692a7e0-d315-45c7-84cb-384abb7b3d36|Stokastiske variabler og sannsynlighetsfordelinger]] (30:24, Håkon Tjelmeland)
===== Sentrale begreper =====
Trykk på det grå feltet for mer informasjon om temaet.
**Definisjon**: En stokastisk variabel er en funksjon fra et utfallsrom til den reelle tallinja.
\\
\\
**Notasjon**: En stokastisk variabel betegnes gjerne med en stor bokstav i slutten av det engelske alfabetet, og de mest brukte bokstavene er \(X,Y,Z,U\) og \(V\). For en stokastisk variabel \(X\) som er definert fra et stokastisk forsøk
med utfallsrom \(S\) kan man dermed skrive
\[
X(e)\in \mathbb{R} \text{ for } e\in S
\]
eller
\[
X: S\rightarrow \mathbb{R}.
\]
En stokastisk variabel \(X\) kan også illustreres med følgende figur.
{{ :tma4245:tema:begreper:stokastiskvariabel.svg?400 nolink }}
\\
\\
**Kommentar**: Når man skal beskrive egenskapene til en stokastisk variabel
skiller man mellom to situasjoner. Hvis en stokastisk variabel kun kan ta
diskrete verdier på tallinja sier vi at vi har en diskret stokastisk variabel.
Hvis en stokastisk variabel kan ta alle verdier i et intervall på tallinja
eller alle verdier på hele tallinja sier vi at vi har en kontinuerlig stokastisk
variabel.
\\
**Relevante kapitler**: 3.1\\
**Relevante videoer**:\\
**Relevante oppgaver**:\\
\\
En stokastisk variabel som kun kan ta diskrete verdier på tallinja kalles en
diskret stokastisk variabel. Punktsannsynligheten \(f(x)\)
for en diskret stokastisk variabel \(X\) er gitt som
\[
f(x) = P(X=x).
\]
**Notasjon**: I uttrykket over betegner stor \(X\) en
stokastisk variabel, mens liten \(x\) angir en mulig verdi for den stokastiske
variabelen. Liten \(x\) er altså en vanlig matematisk variabel slik man
er vant med fra matematikk.
**Notasjon**: Det benyttes ulike notasjoner for punktsannsynligheten for en
diskret stokastisk variabel \(X\). De to mest vanlige
er \(f(x)=P(X=x)\), som benyttes
på denne siden, og \(f_X(x)=P(X=x)\). I notasjonen \(f_X(x)\) minner indeksen
\(X\) oss på at dette er punktsannsynligheten for den stokastiske variabelen
\(X\). I situasjoner hvor vi har flere stokastiske variabler kan det være
nyttig å bruke en slik notasjon for å holde punktsannsynlighetene for de
ulike stokastiske variablene fra hverandre.
**Kommentar**: Merk at \(P(X=x)\) er en kort skrivemåte for sannsynligheten
for den hendelsen som består av alle enkeltutfall \(e\) i utfallsrommet
\( S\) som gir \(X(e)=x\). Matematisk kan dette skrives som
\[
P(X=x) = P(\{ e\in S\ |\ X(e)=x\}).
\]
**Egenskaper**: En punktsannsynlighet \(f(x)\) for en diskret stokastisk
variabel \(X\) vil alltid ha følgende
egenskaper:
- \( f(x) \geq 0\).
- \(\sum_x f(x) = 1\).
- \(f(x) = P(X=x)\).
**Kommentar**: Alle hendelser som kan spesifiseres ved den
diskrete stokastiske
variabelen \(X\) kan beregnes fra punktsannsynligheten \( f(x)\). Vi har for
eksempel at
\[
P(X \leq x) = \sum_{z\leq x} f(z)
\]
der summen er over alle verdier som \( X\) kan ta som er mindre enn eller lik
tallet \(x\).
**Visualisering**: For å visualisere en punktsannsynlighet er det vanlig å
benytte et stolpediagram eller et sannsynlighetshistogram. Under vises
dette for en stokastiske variabel \(X\) med punktsannsynlighet gitt ved
\[
f(x) = {{10}\choose{x}} 0.25^x (1-0.25)^{10-x}, x=0,1,2,\ldots,10.
\]
{{ :tma4245:tema:begreper:stolpediagram.svg?500 nolink }}
**Relevante kapitler**: 3.2\\
**Relevante videoer**:\\
\(\ \ \ \)[[https://mediasite.ntnu.no/Mediasite/Play/fda5ce6d51e24e599c39a0da85823c0a1d?catalog=59691e91-153e-46eb-af12-2e139aaa068d|Eksamen august 2014, oppgave 2]] (13:26, Mette Langaas).\\
**Relevante oppgaver**:\\
\(\ \ \ \)Eksamen desember 2014, oppgave 2 ([[http://www.math.ntnu.no/emner/TMA4240/eksamen/oppg/eksDes14b.pdf|b]],[[http://www.math.ntnu.no/emner/TMA4240/eksamen/oppg/eksDes14n.pdf|n]],[[http://www.math.ntnu.no/emner/TMA4240/eksamen/oppg/eksDes14e.pdf|e]]).\\
\\
En stokastisk variabel som kan ta alle verdier i et intervall på tallinja eller
alle verdier på hele tallinja sies å være en kontinuerlig stokastisk variabel.
Sannsynlighetstettheten \(f(x)\) for en kontinuerlig stokastisk variabel \(X\)
er gitt ved at
\[
P(a < X \leq b) = \int_a^b f(x)\mbox{d}x
\]
for alle \(a < b\).
**Notasjon**: Merk at samme notasjon \(f(x)\) benyttes om punktsannsynligheten
for en diskret stokastisk variabel som for sannsynlighetstettheten for en
kontinuerlig stokastisk variabel. En fordel med å benytte samme
notasjon for disse to størrelsene er at mange regneregler for
punktsannsynlighet og sannsynlighetstettheter da vil se like ut.
**Notasjon**: Det benyttes ulike notasjoner for sannsynlighetstettheten for en
kontinuerlig stokastisk variabel \(X\). De to mest vanlige
er \(f(x)\), som benyttes
på denne siden, og \(f_X(x)\). I notasjonen \(f_X(x)\) minner indeksen
\(X\) oss på at dette er sannsynlighetstettheten
for den stokastiske variabelen
\(X\). I situasjoner hvor vi har flere stokastiske variabler kan det være
nyttig å bruke en slik notasjon for å holde sannsynlighetstetthetene for de
ulike stokastiske variablene fra hverandre.
**Egenskaper**: En sannsynlighetstetthet \(f(x)\) for en kontinuerlig
stokastisk variabel \(X\) vil alltid ha følgende egenskaper:
- \(f(x)\geq 0\).
- \( \int_{-\infty}^\infty f(x)\mbox{d}x = 1\).
- \(P(a < X\leq b) = \int_a^b f(x)\mbox{d}x\).
**Kommentar**: En sannsynlighetstetthet \(f(x)\) er
ikke en sannsynlighet. Følgelig er det ikke noe krav om at
\(f(x)\) skal være mindre eller lik en.
**Kommentar**: Alle hendelser som kan spesifiseres ved den
kontinuerlige stokastiske variabelen \(X\) kan beregnes fra
sannsynlighetstettheten \(f(x)\). Vi har for eksempel at
\[
P(X \leq x) = \int_{-\infty}^x f(x)\mbox{d}x.
\]
**Kommentar**: For en kontinuerlig stokastisk variabel \(X\) vil sannsynligheten for at \(X\) tar en bestemt verdi \(x\) alltid være lik null,
\[
P(X=x) = 0.
\]
Dette betyr spesielt at man for en kontinuerlig stokastisk variabel \(X\)
alltid vil ha at
\[
P(a
{{ :tma4245:tema:begreper:normaltetthet.svg?300 nolink }}
En sannsynlighet \(P(a
{{ :tma4245:tema:begreper:normaltetthet2.svg?600 nolink }}
**Relevante kapitler**: 3.3\\
**Relevante videoer**:\\
**Relevante oppgaver**:\\
\(\ \ \ \)Eksamen desember 2015, oppgave 1a ([[http://www.math.ntnu.no/emner/TMA4240/eksamen/oppg/eksDes15b.pdf|b]],[[http://www.math.ntnu.no/emner/TMA4240/eksamen/oppg/eksDes15n.pdf|n]],[[http://www.math.ntnu.no/emner/TMA4240/eksamen/oppg/eksDes15e.pdf|e]]).\\
\(\ \ \ \)Eksamen desember 2011, oppgave 2a ([[http://www.math.ntnu.no/emner/TMA4240/eksamen/oppg/eksDes11b.pdf|b]],[[http://www.math.ntnu.no/emner/TMA4240/eksamen/oppg/eksDes11n.pdf|n]],[[http://www.math.ntnu.no/emner/TMA4240/eksamen/oppg/eksDes11e.pdf|e]]).\\
\(\ \ \ \)Eksamen juni 2010, oppgave 2a ([[http://www.math.ntnu.no/emner/TMA4240/eksamen/oppg/eksJun10b.pdf|b]],[[http://www.math.ntnu.no/emner/TMA4240/eksamen/oppg/eksJun10n.pdf|n]],[[http://www.math.ntnu.no/emner/TMA4240/eksamen/oppg/eksJun10e.pdf|e]]).\\
\\
Kumulativ fordeling \(F(x)\) for en (diskret eller kontinuerlig)
stokastisk variabel \(X\) er gitt ved
\[
F(x) = P(X\leq x).
\]
**Notasjon**: Det benyttes ulike notasjoner for kumulativ fordeling for en
stokastisk variabel \(X\). De to mest vanlige
er \(F(x)=P(X\leq x)\), som benyttes
på denne siden, og \(F_X(x)=P(X\leq x)\). I notasjonen \(F_X(x)\)
minner indeksen
\(X\) oss på at dette er kumulativ fordeling for den stokastiske variabelen
\(X\). I situasjoner hvor vi har flere stokastiske variabler kan det være
nyttig å bruke en slik notasjon for å holde kumulativ fordeling for de
ulike stokastiske variablene fra hverandre.
**Kommentar**: \(F(x)\) er en sannsynlighet og dermed må vi alltid ha at
\(0\leq F(x)\leq 1\). Dessuten vil en kumulativ fordeling \(F(x)\) alltid
være en voksende funksjon av \(x\).
**Visualisering**: For å visualisere en kumulativ fordeling er det vanlig
å plotte \(F(x)\) som en vanlig matematisk funksjon. Under til venstre
vises et eksempel på en kumulativ fordeling \(F(x)\) for en diskret
stokastisk variabel \(X\), og til høyre vises et eksempel på en
kumulativ fordeling \(F(x)\) for en kontinuerlig stokastisk variabel.
{{ :tma4245:tema:begreper:kumulativ.svg?600 nolink }}
Som vi ser på figuren til venstre over er \(F(x)\) for en diskret stokastisk
variabel \(X\) en trappefunksjon. Den har et trappetrinn i hver mulig verdi
for \(X\) og høyden på trappetrinnet i en posisjon \(x\) er lik \(f(x)\).
Som vi ser på figuren til høyre er \(F(x)\) for en kontinuerlig stokastisk
variabel \(X\) er kontinuerlig funksjon. For både diskrete og kontinuerlige
stokastiske variabler har vi at \(F(x)\) er en voksende funksjon og at
\[
\lim_{x\rightarrow-\infty}F(x) = 0 \ \ \ \ \ \ \ \text{og}
\ \ \ \ \ \ \
\lim_{x\rightarrow\infty}F(x) = 1.
\]
**Kommentar**: For en diskret stokastisk variabel \(X\) er det en
en-til-en sammenheng mellom kumulativ fordeling \(F(x)\) og
punktsannsynlighet \(f(x)\). Hvis de mulige verdier for \(X\) er
\(0,1,2,\ldots\) har vi at
\[
F(x) = \sum_{t=0}^x f(t) \ \ \ \ \ \ \ \ \text{og} \ \ \ \ \ \ \ \
f(x) = F(x) - F(x-1).
\]
For en kontinuerlig stokastisk variabel \(X\) er det tilsvarende en en-til-en
sammanheng mellom kumulativ fordeling \(F(x)\) og
sannsynlighetstetthet \(f(x)\), og denne er gitt ved at
\[
F(x) = \int_{-\infty}^x f(t)\mbox{d}t \ \ \ \ \ \ \ \ \text{og} \ \ \ \ \ \ \ \
f(x) = F^\prime (x).
\]
**Relevante kapitler**: 3.2, 3.3\\
**Relevante videoer**:\\
**Relevante oppgaver**: \\
\(\ \ \ \)Eksamen desember 2015, oppgave 1a ([[http://www.math.ntnu.no/emner/TMA4240/eksamen/oppg/eksDes15b.pdf|b]],[[http://www.math.ntnu.no/emner/TMA4240/eksamen/oppg/eksDes15n.pdf|n]],[[http://www.math.ntnu.no/emner/TMA4240/eksamen/oppg/eksDes15e.pdf|e]]).\\
\(\ \ \ \)Eksamen desember 2011, oppgave 2a ([[http://www.math.ntnu.no/emner/TMA4240/eksamen/oppg/eksDes11b.pdf|b]],[[http://www.math.ntnu.no/emner/TMA4240/eksamen/oppg/eksDes11n.pdf|n]],[[http://www.math.ntnu.no/emner/TMA4240/eksamen/oppg/eksDes11e.pdf|e]]).\\
\(\ \ \ \)Eksamen juni 2010, oppgave 2a ([[http://www.math.ntnu.no/emner/TMA4240/eksamen/oppg/eksJun10b.pdf|b]],[[http://www.math.ntnu.no/emner/TMA4240/eksamen/oppg/eksJun10n.pdf|n]],[[http://www.math.ntnu.no/emner/TMA4240/eksamen/oppg/eksJun10e.pdf|e]]).\\
\\
Hvis vi har to eller flere stokastiske variabler trenger vi deres
simultane (eller samtidige) sannsynsynlighetsfordeling for å beskrive deres
egenskaper. Hvis vi har to diskrete stokastiske variabler \(X\) og \(Y\)
er deres simultane sannsynlighetsfordeling \(f(x,y)\), som også
kalles simultan punktsannsynlighet, gitt som
\[
f(x,y) = P(X=x,Y=y),
\]
der kommaet i \(P(X=x,Y=y)\) skal leses som 'og' eller snitt. Hvis vi har to
kontinuerlige stokastiske variabler \(X\) og \(Y\) er deres
simultane sannsynlighetsfordeling \(f(x,y)\), som også kalles simultan
sannsynlighetstetthet, gitt ved at
\[
P((X,Y)\in A) = \iint\limits_A f(x,y)\mbox{d}x\mbox{d}y \ \ \text{for \(A\subseteq \mathbb{R}^2\)}.
\]
**Notasjon**: Man kan eventuelt angi hvilke stokastiske variabler
en simultan sannsynlighetsfordeling gjelder for ved å angi dette som en
indeks til \(f\)-en, tilsvarende som man kan når man har bare en
stokastisk variabel. Simultan sannsynlighetsfordeling for \(X\) og
\(Y\) kan man altså alternativt betegne med \(f_{XY}(x,y)\).
**Egenskaper**: En simultan sannsynlighetsfordeling for en diskret stokastisk
variabel \(X\) vil alltid ha følgende egenskaper:
- \(f(x,y) \geq 0\).
- \(\sum_x\sum_y f(x,y) = 1\).
- \(f(x,y) = P(X=x,Y=y)\).
En simultan sannsynlighetsfordeling for en kontinuerlig stokastisk variabel
vil tilsvarende alltid ha følgende egenskaper:
- \(f(x,y) \geq 0\).
- \(\int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty f(x,y)\mbox{d}x\mbox{d}y = 1\).
- \(P((X,Y)\in A) = \iint\limits_A f(x,y)\mbox{d}x\mbox{d}y\) for \(A\subseteq \mathbb{R}^2\).
**Marginalfordeling**: Fra simultanfordelingen for to stokastiske
variabler \(X\) og \(Y\) kan man finne fordelingen for \(X\) og \(Y\)
hver for seg. Fordelingene for \(X\) og \(Y\) hver for seg kalles gjerne for
marginalfordelinger, for å understreke at det er fordelinger hvor
man ser på bare en stokastisk variabel. Hvis vi lar \(f_{XY}(x,y)\)
være simultanfordelingen for \(X\) og \(Y\) og betegner marginalfordelingene
for \(X\) og \(Y\) med henholdsvis \(f_X(x)\) og \(f_Y(y)\) har vi at
\[
f_X(x) = \sum_y f_{XY}(x,y) \ \ \ \ \ \ \text{og}\ \ \ \ \ \
f_Y(y) = \sum_x f_{XY}(x,y)
\]
hvis \(X\) og \(Y\) er diskrete stokastiske variabler, og
\[
f_X(x) = \int_{-\infty}^\infty f_{XY}(x,y)\mbox{d}y
\ \ \ \ \ \ \text{og}\ \ \ \ \ \
f_Y(y) = \int_{-\infty}^\infty f_{XY}(x,y)\mbox{d}x
\]
hvis \(X\) og \(Y\) er kontinuerlige stokastiske variabler.
**Relevante kapitler**: 3.4\\
**Relevante videoer**:\\
\(\ \ \ \)[[https://mediasite.ntnu.no/Mediasite/Play/fda5ce6d51e24e599c39a0da85823c0a1d?catalog=59691e91-153e-46eb-af12-2e139aaa068d|Eksamen august 2014, oppgave 2]] (13:26, Mette Langaas).\\
**Relevante oppgaver**:\\
\(\ \ \ \)Eksamen august 2014, oppgave 2a ([[http://www.math.ntnu.no/emner/TMA4240/eksamen/oppg/eksAug14b.pdf|b]],[[http://www.math.ntnu.no/emner/TMA4240/eksamen/oppg/eksAug14n.pdf|n]]).\\
\(\ \ \ \)Eksamen desember 2014, oppgave 2 ([[http://www.math.ntnu.no/emner/TMA4240/eksamen/oppg/eksDes14b.pdf|b]],[[http://www.math.ntnu.no/emner/TMA4240/eksamen/oppg/eksDes14n.pdf|n]],[[http://www.math.ntnu.no/emner/TMA4240/eksamen/oppg/eksDes14e.pdf|e]]).\\
\(\ \ \ \)Eksamen desember 2014, oppgave 1b ([[http://www.math.ntnu.no/emner/TMA4240/eksamen/oppg/eksDes14b.pdf|b]],[[http://www.math.ntnu.no/emner/TMA4240/eksamen/oppg/eksDes14n.pdf|n]],[[http://www.math.ntnu.no/emner/TMA4240/eksamen/oppg/eksDes14e.pdf|e]]).\\
\\
**Definisjon**: La \(X\) og \(Y\) være to stokastiske variabler med
simultan sannsynlighetsfordeling \(f_{XY}(x,y)\). Anta at \(X\) og
\(Y\) enten begge er diskrete stokastiske variabler, eller at begge
er kontinuerlige stokastiske variabler. Den betingede fordelingen
for \(Y\) gitt \(X=x\) er da
\[
f_{Y|X}(y\ |\ x) = \frac{f_{XY}(x,y)}{f_X(x)}\ \ \text{hvis \(f_X(x)>0\)}
\]
og den betingede fordelingen for \(X\) gitt \(Y=y\) er tilsvarende
\[
f_{X|Y}(x\ |\ y) = \frac{f_{XY}(x,y)}{f_Y(y)}\ \ \text{hvis \(f_Y(y)>0\).}
\]
Her betegner \(f_X(x)\) og \(f_Y(y)\) marginalfordelingene for
henholdsvis \(X\) og \(Y\).
**Kommentar**: Definisjonen over gjelder for både diskrete og
kontinuerlige stokastiske variabler. Hvis \(X\) og \(Y\) er diskrete
stokastiske variabler er fordelingene som inngår i formlene
over punktsannsynligheter, mens hvis \(X\) og \(Y\) er kontinuerlige
stokastiske variabler er fordelingene sannsynlighetstettheter.
**Kommentar**: Merk at \(f_{Y|X}(y\ |\ x)\) og \(f_{X|Y}(x\ |\ y)\) er
sannsynlighetsfordelinger (punktsannsynligheter eller sannsynlighetstettheter)
og at de dermed vil oppfylle de egenskaper som alle punktsannsynligheter og
sannsynlighetstettheter har.
**Tolkning**: Den betingede fordelingen \(f_{Y|X}(y\ |\ x)\) angir
sannsynlighetsfordelingen for \(Y\) hvis man får opplyst om at
\(X=x\). Hvis \(X\) og \(Y\) er kontinuerlige stokastiske variabler betyr
dette for eksempel at
\[
P(a
**Relevante kapitler**: 3.4\\
**Relevante videoer**:\\
\(\ \ \ \)[[https://mediasite.ntnu.no/Mediasite/Play/a3c43da0c4af41a3a453a634d045fa361d?catalog=0fce6173-7a98-4db7-84b7-50cba3a3a341|Betinget og marginal fordeling]] (9:59, Haakon Bakka)\\
\(\ \ \ \)[[https://mediasite.ntnu.no/Mediasite/Play/2620130692264c0fa913d4b0d38177101d?catalog=59691e91-153e-46eb-af12-2e139aaa068d|Eksamen desember 2012, oppgave 2b]] (07:48, Mette Langaas)\\
**Relevante oppgaver**:\\
\(\ \ \ \)Eksamen desember 2009, oppgave 1b ([[http://www.math.ntnu.no/emner/TMA4240/eksamen/oppg/eksDes09b.pdf|b]],[[http://www.math.ntnu.no/emner/TMA4240/eksamen/oppg/eksDes09n.pdf|n]],[[http://www.math.ntnu.no/emner/TMA4240/eksamen/oppg/eksDes09e.pdf|e]]).\\
\\
**Definisjon**: To stokastiske variabler \(X\) og \(Y\) med simultan
sannsynlighetsfordeling \(f_{XY}(x,y)\) og marginalfordelinger
for \(X\) og \(Y\) henholdsvis lik \(f_X(x)\) og \(f_Y(y)\) er
uavhengige hvis og bare hvis
\[
f_{XY}(x,y) = f_X(x) \cdot f_Y(y) \ \ \ \mbox{for alle \(x\) og \(y\)}.
\]
**Kommentar**: Definisjonen over gjelder for både diskrete og
kontinuerlige stokastiske variabler. Hvis \(X\) og \(Y\) er diskrete
stokastiske variabler angir fordelingene over punktsannsynligheter, mens
hvis \(X\) og \(Y\) er kontinuerlige
stokastiske variabler angir de sannsynlighetstettheter.
**Tolkning**: Man kan vise at hvis \(X\) og \(Y\) er uavhengige så vil det at
man får opplyst om verdien til den ene av de to stokastiske variablene ikke
endre sannsynlighetsfordelingen til, og dermed vår kunnskap om, den andre
stokastiske variabelen.
Matematisk kan dette formuleres som følger. Hvis \(X\) og \(Y\)
er uavhengige så kan man vise at
\[
f_{Y|X}(y\ |\ x)=f_Y(y) \ \ \ \mbox{for alle \(x\) og \(y\) der \(f_X(x)>0\).}
\]
Hvis \(X\) og \(Y\) er uavhengige vil følgelig det at man får opplyst om
verdien til \(X\) ikke endre sannsynlighetsfordelingen til \(Y\).
Tilsvarende kan man vise at hvis \(X\) og \(Y\) er uavhengige så vil
\[
f_{X|Y}(x\ |\ y)=f_X(x) \ \ \ \mbox{for alle \(x\) og \(y\) der \(f_Y(y)>0\).}
\]
Hvis \(X\) og \(Y\) er uavhengige vil følgelig det at man får opplyst om
verdien til \(Y\) ikke endre sannsynlighetsfordelingen til \(X\).
**Generalisering**: Hvis man har \(n\) stokastiske variabler
\(X_1,X_2,\ldots,X_n\) som er uavhengige og (marginal)fordelingen til
\(X_i\) er \(f_{X_i}(x_i)\) for \(i=1,2,\ldots,n\) så vil simultan
sannsynlighetsfordeling for \(X_1,X_2,\ldots,X_n\) være
\[
f_{X_1,X_2,\ldots,X_n}(x_1,x_2,\ldots,x_n) = f_{X_1}(x_1)\cdot
f_{X_2}(x_2)\cdot\ldots\cdot f_{X_n}(x_n)
= \prod_{i=1}^n f_{X_i}(x_i).
\]
**Relevante kapitler**: 3.4\\
**Relevante videoer**:\\
\(\ \ \ \)[[https://mediasite.ntnu.no/Mediasite/Play/fda5ce6d51e24e599c39a0da85823c0a1d?catalog=59691e91-153e-46eb-af12-2e139aaa068d|Eksamen august 2014, oppgave 2]] (13:26, Mette Langaas).\\
**Relevante oppgaver**:\\
\(\ \ \ \)Eksamen desember 2014, oppgave 2 ([[http://www.math.ntnu.no/emner/TMA4240/eksamen/oppg/eksDes14b.pdf|b]],[[http://www.math.ntnu.no/emner/TMA4240/eksamen/oppg/eksDes14n.pdf|n]],[[http://www.math.ntnu.no/emner/TMA4240/eksamen/oppg/eksDes14e.pdf|e]]).\\
\\