====== Vektorer og koordinatsystem i 3D ======

  * En //kvadratisk flate// i rommet kan beskrives ved hjelp av en ligning på formen \(Ax^2+ By^2+Cz^2+Dxy+Exz+Fyz +Gx+Hy+Iz = J\). Slike flater kan deles inn i //sfærer//, //ellipsoider//, //paraboloider//, //hyperboloider//, //kjegler// og //sylindere//.
  * //Sylindriske// koordinater er en annen måte å uttrykke punkter i rommet på enn vanlige kartesiske koordinater. Sylinderkoordinater er som [[https://wiki.math.ntnu.no/tma4105/tema/kurver?&#sentrale_begrep|polarkoordinater]] i planet men med en ekstra \(z\)-komponent.
  * //Sfæriske// koordinater er enda en måte å uttrykke punkter i rommet på. Her ser man på avstanden fra origo, vinkelen som dannes med planet \(y=0\) og vinkelen som dannes med den positive \(z\)-aksen.

{{youtube>ag6W0h6b2Ik}}\\ \\


==== Sentrale begrep ====

Trykk på det grå feltet for å se en definisjon.

<hidden **Standardbasisen \(\mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}\)**>
**Definisjon (av standardbasisen)**:\\
//Standardbasisen// i \(\mathbb{R}^3\) er gitt ved enhetsvektorene \(\mathbf{i}=(1,0,0)\), \(\mathbf{j}=(0,1,0)\) og \(\mathbf{k}=(0,0,1)\). Dette betyr at en vektor \(\mathbf{v}=(x,y,z)\) også kan skrives som \(\mathbf{v} = x\mathbf{i}+y\mathbf{j}+z\mathbf{k}\).

Tilsvarende har man i \(\mathbb{R}^2\) at \(\mathbf{i}=(1,0)\) og \(\mathbf{j}=(0,1)\), slik at \(\mathbf{v}=(x,y)=x\mathbf{i}+y\mathbf{j}\).

<infoboks fill|>
**Relevante kapitler i boka:** 10.2\\
</infoboks>

</hidden>

<hidden **Enhetsvektor**>
**Definisjon av enhetsvektor:**\\
En vektor \(\mathbf{v}\) kalles en //enhetsvektor// dersom lengden av \(\mathbf{v}\) er \(1\), altså dersom \(\left|\mathbf{v}\right|=1\).
<infoboks fill|>
**Relevante kapitler i boka:** 10.2\\
</infoboks>
</hidden>

<hidden **Plan i \(\mathbb{R}^3\)**>
**Ligning for et plan gitt en normalvektor og et punkt:**\\
Planet med normalvektor \(\mathbf{n}=A\mathbf{i}+B\mathbf{j}+C\mathbf{k}\), som inneholder punktet \(P_0 = (x_0,y_0,z_0)\) gitt ved posisjonsvektoren \(\mathbf{r}_0 = x_0\mathbf{i}+y_0\mathbf{j}+z_0\mathbf{k}\) har ligning
\[\mathbf{n}\cdot (\mathbf{r}-\mathbf{r}_0) = 0,\]
der \(\mathbf{r}\) er posisjonsvektoren til et punkt på planet, eller tilsvarende
\[A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0) = 0\]
der \((x,y,z)\) er et punkt på planet.

**Kommentar:**\\
Det er ofte vanlig å skrive den siste ligningen over på //standardformen// 
\[Ax+By+Cz= D,\]
der \(D=Ax_0+By_0+Cz_0\).


<infoboks fill|>
**Relevante kapitler i boka:** 8.4\\
**Relevante videoeksempel:** [[https://mediasite.ntnu.no/Mediasite/Play/6a2f8c9bb6114816a6e301807abcd1d51d?catalog=34baaec9b4464bb5b187c684b02c75c621|Skissering av plan og sylinder]]
</infoboks>

</hidden>

<hidden **Linje i \(\mathbb{R}^3\)**>
**Ligning for en linje gitt et punkt og en retning:**\\
Linjen som passerer gjennom punktet med posisjonsvektor \(\mathbf{r}_0\) og peker i retning parallellt med \(\mathbf{v}\) er gitt ved
\[\mathbf{r} = \mathbf{r}_0+t\mathbf{v},\]
der \(\mathbf{r}\) er posisjonsvektoren til et punkt langs linjen og der \(t\) er en reell parameter.

Gitt at \(\mathbf{v}=(a,b,c)\) og \(\mathbf{r}_0=(x_0,y_0,z_0)\) kan dette skrives om til det skalare parametriske uttrykket
\[\begin{cases} x=x_0+at\\y=y_0+bt\\ z=z_0+ct\end{cases}\quad (-\infty < t < \infty).\]

//Standardformen// for linjen er gitt ved
\[\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c},\]
forutsatt at \(a,b,c\ne 0\). Dersom f.eks. \(c=0\) blir standardformen istedet
\[\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}, \, z=z_0,\]
med tilsvarende type uttrykk dersom \(a=0\) eller \(b=0\).


<infoboks fill|>
**Relevante kapitler i boka:** 8.4\\
</infoboks>

</hidden>

<hidden **Sylindriske koordinater**>
**Definisjon av sylindriske koordinater**:\\
De sylindriske koordinatene \((r,\theta,z)\) til et punkt med kartesiske koordinater \( (x,y,z)\) er gitt ved ligningene
\[x = r\cos \theta, \,  y= r\sin \theta, \, z=z\]
\[r^2 = x^2+ y^2,  \, \tan \theta = \frac{y}{x}.\]

**Geometrisk tolkning:**\\
I sylindriske koordinater er \(z\) det samme som i kartesiske koordinater. \( xy\)-planet er derimot beskrevet av \(r\) og \(\theta\), som har den samme tolkningen som for [[https://wiki.math.ntnu.no/tma4105/tema/kurver?&#sentrale_begrep|polarkoordinater]] dersom man ser bort fra \(z\)-komponenten.

{{:tma4105:tema:cylindrical_coordinates.png?200}}

**Kommentar**:
Det er vanlig å kreve at \(r\ge 0\) og at \(0\le \theta < 2\pi\). På denne måten får alle andre punkter enn dem langs \(z\)-aksen en unik representasjon i sylinderkoordinater.


<infoboks fill|>
**Relevante kapitler i boka:** 8.6\\
**Relevante videoeksempel:** [[https://mediasite.ntnu.no/Mediasite/Play/4998b3e64d2b464590816e61e0ccc6f91d?catalog=34baaec9b4464bb5b187c684b02c75c621|Område i rom gitt ved sylinder- og sfærekoordinater]], [[https://mediasite.ntnu.no/Mediasite/Play/6a2f8c9bb6114816a6e301807abcd1d51d?catalog=34baaec9b4464bb5b187c684b02c75c621|Skissering av plan og sylinder]]
</infoboks>

</hidden>


<hidden **Sfæriske koordinater**>
**Definisjon av sfæriske koordinater**:\\
De sfæriske koordinatene \( (R,\phi,\theta)\) for et punkt med kartesiske koordinater \( (x,y,z)\) er gitt ved ligningene
\[x = R\sin\phi\cos\theta, \, y = R\sin\phi\sin\theta,  \, z=R\cos\phi\]
\[R^2=x^2+y^2+z^2, \, \tan \phi = \frac{\sqrt{x^2+y^2}}{z},  \, \tan \theta = \frac{y}{x}.\]

**Geometrisk tolkning**:\\
\(R\) er avstanden fra origo til punktet. \(\theta\) er det samme som for sylinderkoordinater, og dermed for polarkoordinater hvis man projisjerer punktet ned i \(xy\)-planet. \(\phi\) er vinkelen som dannes mellom linjen fra origo til punktet og den positive \(z\)-aksen. (Merk at i figuren heter radiusen \(r\) istedet for \(R\))

{{:tma4105:tema:3d_spherical_2.svg?200}}

**Kommentar**:\\
Det er vanlig å kreve \(R\ge 0\), \(0\le \phi \le \pi\) og \(0\le \theta < 2\pi\). På denne måter får alle andre punkter enn dem langs \(z\)-aksen en unik representasjon i sfæriske koordinater.


<infoboks fill|>
**Relevante kapitler i boka:** 8.6\\
**Relevante videoeksempel:** [[https://mediasite.ntnu.no/Mediasite/Play/4998b3e64d2b464590816e61e0ccc6f91d?catalog=34baaec9b4464bb5b187c684b02c75c621|Område i rom gitt ved sylinder- og sfærekoordinater]]
</infoboks>

</hidden>

\\ \\

==== Sentrale setninger ====
Trykk på det grå feltet for å se et teorem. 
<hidden **Avstand mellom punkt og plan**>
**Teorem:**\\
Avstanden \(s\) mellom planet gitt ved ligningen
\[Ax+By+Cz = D\]
og punktet \( P_0=(x_0,y_0,z_0)\) er gitt ved
\[s = \frac{\left|Ax_0+By_0+Cz_0-D\right|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}.\]

<infoboks fill|>
**Relevante kapitler i boka:** 10.4\\
**Relevante videoeksempler:** [[https://mediasite.ntnu.no/Mediasite/Play/8e51bd5d01bc4ac6a37c2c5c235348391d?catalog=34baaec9b4464bb5b187c684b02c75c621|Minste avstand fra origo til plan (metode 2)]]
</infoboks>
</hidden>

<hidden **Avstanden mellom punkt og linje**>
**Teorem**:\\
Avstanden \(s\) mellom punktet med posisjonsvektor \(\mathbf{r}_0\) og linjen som passerer gjennom punktet med posisjonsvektor \(\mathbf{r}_1\) parallellt med \(\mathbf{v}\) er gitt ved
\[s = \frac{\left|(\mathbf{r}_0-\mathbf{r}_1)\times \mathbf{v}\right|}{\left|\mathbf{v}\right|}.\]
<infoboks fill|>
**Relevante kapitler i boka:** 10.4
</infoboks>
</hidden>

<hidden **Avstand mellom to linjer**>
**Teorem:**\\
Avstanden \(s\) mellom linjen gjennom punktet \(\mathbf{r}_1\) som er parallell med \(\mathbf{v}_1\), og linjen gjennom punktet \(\mathbf{r}_2\) som er parallell med \(\mathbf{v}_2\) er gitt ved
\[s = \frac{\left|(\mathbf{r}_2-\mathbf{r}_1)\cdot(\mathbf{v}_1\times \mathbf{v}_2)\right|}{\left|\mathbf{v}_1\times\mathbf{v}_2\right|}.\]
<infoboks fill|>
**Relevante kapitler i boka:** 10.4
</infoboks>
</hidden>

\\ \\

==== Sentrale metoder ====
Trykk på det grå feltet for å se en metode. 

<hidden **Kvardatiske flater i tre dimensjoner**>
**Klassifisering av kvadratiske flater**:\\
Ligningen for en generell kvadratisk flate er gitt ved
\[Ax^2+By^2+Cz^2+Dxy+Exz+Fyz+Gx+Hy+Iz = J.\]
I dette faget forventes det at man kjenner igjen følgende ligninger for kvadratiske flater.

**Sfære**:\\
En sfære med radius \(a\) og midtpunkt \( (x_0,y_0,z_0)\) er gitt ved ligningen
\[(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2 = a^2.\]

**Ellipsoide**:\\
Ligningen 
\[\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2} = 1\]
beskriver en ellipsoide sentrert i origo.

**Sylinder**:\\
En ligning som kun avhenger av to av variablene \(x,y\) og \(z\) vil gi en sylinder. Denne kalles //sirkulær//, //elliptisk//, //parabolsk// eller //hyperbolsk// avhengig av hvilken av disse fire som beskrives av ligningen i to variabler. For eksempel vil ligningen \(x^2+z^2 = 1\) beskrive en sirkulær sylinder, og \(x^2-4y^2 = 1\) beskriver en hyperbolsk sylinder.

**Kjegle:**\\
Ligningen  
\[x^2+y^2=a^2z^2\]
beskriver en //sirkulær// kjegle sentrert i origo som danner en vinkel \(\alpha = \arctan a\) med \(z\)-aksen.

**Paraboloide**:\\
Ligningen
\[z = \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}\]
beskriver en //elliptisk paraboloide// og ligningen 
\[z = \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2}\]
beskriver en //hyperbolsk paraboloide//.

**Hyperboloide**:\\
Ligningen
\[\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2} = 1\]
beskriver en hyperboloide i en del, og ligningen
\[\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2} = -1\]
beskriver en hyperboloide i to deler.


<infoboks fill|>
**Relevante kapitler i boka:** 10.5\\
**Relevante videoeksempel:** [[https://mediasite.ntnu.no/Mediasite/Play/6a2f8c9bb6114816a6e301807abcd1d51d?catalog=34baaec9b4464bb5b187c684b02c75c621|Skissering av plan og sylinder]]
</infoboks>
</hidden>