~~NOTOC~~

**//Det kan komme mindre endringer i denne øvingen i løpet av uke 15//**

====== Hjemmeøving 13 ======

Øvingen veiledes uke 17, men kun de som mangler nok godkjente øvinger har anledning til å levere den inn. Det anbefales likevel at alle gjør den.

===== Diverse oppgaver =====

==== 1 (basert på oppgave 5 fra eksamen våren 1991) ====
La \(S\) være en sammenhengende, glatt flate i \(\mathbb{R}^3\). Anta at \(f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}\) har kontinuerlige første ordens partiellderiverte overalt, og at for alle punkter \(\mathbf{p}\in S\) så står gradienten \(\nabla f (\mathbf{p})\) normalt på \(S\) i \(\mathbf{p}\).

Vis at \(f\) er konstant på \(S\). (Hint: Bruk et linjeintegral...)

==== 2 (basert på oppgave 6 fra eksamen sommeren 1992) ====
La \(f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}\) være en funksjon med kontinuerlige partiellderiverte. La \(C\) være sirkelen sentrert i origo med radius \(R>0\). 

**a:** Vis at
\[
\oint_C (xf(x,y)\mathrm{d}x + yf(x,y)\mathrm{d}y) = 0.
\]

**b:** Hvorfor finnes det ingen \(f\) som over som tilfredsstiller
\[
y\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) - x\frac{\partial f}{\partial y}(x,y) > 0
\]
for alle \((x,y)\) innenfor sirkelen \(C\)?

==== 3 (basert på oppgave 7 fra eksamen våren 1994) ====
La \(C\) være sirkelen i \(\mathbb{R}^2\) med sentrum i origo og radius \(1\), og \(D\) være kurven gitt i polarkoordinater av \(r=4/(2-\cos\theta)\). Begge kurvene \(C\) og \(D\) orienteres //mot// klokken ("positiv omdreiningsretning"). La \(R\) betegne området mellom \(C\) og \(D\).

**a:** Beregn
\[
\oint_C \left(\frac{-y}{(x^2+y^2)^2}\mathrm{d}x + \frac{x}{(x^2+y^2)^2}\mathrm{d}y\right).
\]

**b:** Beregn
\[
\iint_R \frac{1}{(x^2+y^2)^2}\mathrm{d}A.
\]

**c:** Bruk Greens/Stokes teorem og resultatene i deloppgave **a** og **b** til å finne
\[
\oint_D \left( \frac{-y}{(x^2+y^2)^2}\mathrm{d}x + \frac{x}{(x^2+y^2)^2}\mathrm{d}y\right).
\]

==== 4 (basert på oppgave 6 fra eksamen sommeren 2012) ====
**a:**
La \(T\) være legemet avgrenset av paraboloiden \(z=4x^2+4y^2\) og planet \(z=4\). La \(S\) være den delen av overflaten til \(T\) som ligger på paraboloiden, og la \(\mathbf{n}\) være enhetsnormalen til \(S\) med retning utover. La \(\mathbf{F}:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3\) være gitt ved
\[
\mathbf{F}(x,y,z) = \frac{yz}{8\pi}\mathbf{i} - \frac{x}{2\pi}\mathbf{j} + \frac{z}{4}\mathbf{k}.
\]
Finn volumet til \(T\) og regn ut integralene
\[
I_1 = \iint_S\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,\mathrm{d}\sigma \quad\quad\text{og}\quad\quad I_2 = \iint_S\mathrm{curl}\,\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,\mathrm{d}\sigma.
\]

**b:**
Hva skjer dersom vi bytter om \(x\) og \(z\) i deloppgave **a**? Med andre ord, hva skjer dersom paraboloiden istedet er \(x=4z^2+4y^2\), planet er \(x=4\) og vektorfeltet er
\[
\mathbf{F}(x,y,z) = \frac{yx}{8\pi}\mathbf{i} - \frac{z}{2\pi}\mathbf{j} + \frac{x}{4}\mathbf{k} ?
\]
Regn ut \(I_1\) og \(I_2\). Kommenter svaret.

===== Oppgaver fra tidligere års eksamener =====
  * **[[https://wiki.math.ntnu.no/_media/tma4105/2011v/tma4105_11k.pdf|Sommer 2011]]:** Oppgave 8.


===== Ekstraoppgaver for de spesielt interesserte =====

=== 1 - Maxwells ligninger på differensial- og integralform ===

//Maxwells ligninger// ((James Clerk Maxwell, 1831-1879. Skotsk fysiker, gjerne nevnt i samme åndedrag som Newton og Einstein.)) er blant de aller mest kjente naturlover vi har. De fire ligningene beskriver oppførselen til klassiske elektriske og magnetiske felter, og presenteres gjerne i både såkalt differensialform og integralform. Vi skal her se litt på den første av ligningene, ofte kalt //Gauss lov//.

På differensialform lyder Gauss lov
\[
\mathrm{div}\,\mathbf{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0},
\]
hvor \(\mathbf{E}\) er det elektriske felt (for oss bare et vektorfelt), \(\rho(x,y,z)\) er ladningstetthet i \((x,y,z)\) (for oss bare en tetthet, tenk for eksempel massetetthet), og \(\varepsilon_0\) er en naturkonstant.

På integralform lyder loven
\[
\iint_S \mathbf{E}\cdot \mathbf{n}\,\mathrm{d}\sigma = \frac{Q}{\varepsilon_0},
\]
hvor \(S\) er en lukket, glatt flate og \(Q\) er den totale ladningen i området innenfor flaten \(S\).

Bruk divergensteoremet til å vise at differensialformen gir integralformen. (Hint: Tenk på ladning som om det var masse...)