====== Anvendelser av integrasjon ======

   * En rekke størrelser i matematikk, fysikk, biologi og økonomi kan uttrykkes som integraler.
   * Vi kan bruke integrasjon til å finne arealet av overflater og volumet av legemer, samt til å beregne buelengder, sannsynligheter og arbeid.
   * Ved å tenke på integrasjon som antiderivasjon kan vi løse differensialligninger ved å integrere.

{{youtube>4NepuBQShl4?medium}}\\

===== Sentrale begreper =====

Trykk på det grå feltet for mer informasjon om emnet.


<hidden ** Omdreiningslegemer **>
\\
Volumet av et legeme som ligger mellom \(x=a\) og \(x=b\), og som i punktet \(x\) har tverrsnittsareal \(A(x)\), er gitt ved integralet
\[ V = \int_a^b A(x) \, dx.\]

Dette prinsippet kan brukes til å finne volumet av det vi kaller **omdreiningslegemer**; dette er legemer som fremkommer når et område i planet dreies om en gitt akse. 

**Rotasjon om x-aksen**\\
Volumet som fremkommer når området \(0 \leq y \leq f(x)\), \(a < x < b\), dreies om \(x\)-aksen, er
\[V = \pi \int_a^b (f(x))^2 \, dx. \]

**Rotasjon om y-aksen**\\
Volumet som fremkommer når området \(0 \leq y \leq f(x)\), \(0 \leq a < x < b\), dreies om \(y\)-aksen, er 
\[V = 2 \pi \int_a^b x f(x) \, dx. \]


<infoboks fill|>
**Relevante kapitler i boka:** 7.1, 7.2 \\
 
**Relevant eksempel: **\\
[[https://wiki.math.ntnu.no/tma4100/2014h/tema/applicationsofintegration/examples#volumet_av_et_omdreiningslegeme|Volumet av et omdreiningslegeme]]\\

**Relevante pencaster:**\\ 
[[http://www.math.ntnu.no/emner/TMA4100/2013h/pencasts/7_1_6.mov|Rotasjon om både x- og y-aksen (oppg 7.1.6 i Adams)]] (5:09)\\
[[http://www.math.ntnu.no/emner/TMA4100/2013h/pencasts/7_1_12.mov|Rotasjon om aksen y=1 (oppg 7.1.12 i Adams)]] (2:35)\\
[[http://www.math.ntnu.no/emner/TMA4100/2013h/pencasts/7_2_3.mov|Volumet av et legeme med kjent tverrsnitt (oppg 7.2.3 i Adams)]] (2:27)\\

**Relevante videoer:** \\
[[http://video.adm.ntnu.no/openVideo/pres/501fbd484753b|Sylinderskallmetoden]] (12:16) \\
[[http://video.adm.ntnu.no/openVideo/pres/525d2e2d023a0|Rotasjon om y-aksen og relaterte rater (Eks K2013 oppg 4)]] (30:30)\\

**Relevant Mapleark:**\\
{{:tma4100:2013h:tema:applicationsofintegration:rotasjonslegmer.mw| }}{{:tma4100:2013h:tema:applicationsofintegration:rotasjonslegmer.pdf|Rotasjonslegemer}} \\
</infoboks>

</hidden>\\

<hidden ** Buelengder og rotasjonsflater **>
\\
**Teorem: Lengden til en graf**\\
Anta at \(f\) er en kontinuerlig deriverbar funksjon på intervallet \([a,b]\). Da er lengden av grafen \(y=f(x)\) fra \(x=a\) til \(x=b\) gitt ved
\[s = \int_a^b \sqrt{1+(f'(x))^2} \, dx.\]

**Teorem: Rotasjonsflate**\\

**(a) Rotasjon om x-aksen** \\
Hvis \(f\) er kontinuerlig deriverbar på intervallet \([a,b]\), og grafen \(y=f(x)\) roteres om \(x\)-aksen, så er arealet av overflaten som fremkommer gitt ved
\[S = 2 \pi \int_a^b \left| f(x) \right| \sqrt{1+\left(f'(x) \right)^2} \, dx .\]

**(b) Rotasjon om y-aksen** \\
Hvis grafen i stedet roteres om \(y\)-aksen, så er arealet av overflaten som fremkommer gitt ved
\[S = 2 \pi \int_a^b \left| x \right| \sqrt{1+\left(f'(x) \right)^2} \, dx .\]

<infoboks fill|>
**Relevante kapitler i boka:** 7.3 \\

**Relevant eksempel: ** \\
[[https://wiki.math.ntnu.no/tma4100/2014h/tema/applicationsofintegration/examples#overflateareal_og_volum|Overflateareal og volum]] \\

**Relevant pencast:**\\
{{:tma4100:2013h:tema:7.3.34.pdf|Overflateareal av en del av et kuleskall (oppg 7.3.34 i Adams)}} (2:59)\\

**Relevant video:** \\
[[http://video.adm.ntnu.no/openVideo/pres/501fbd4846144|Lengde av plan kurve og areal av rotasjonsflate]] (20:28)\\

**Relevant Mapleark:** \\
{{:tma4100:2013h:tema:applicationsofintegration:kurvelengde.mw| }}{{:tma4100:2013h:tema:applicationsofintegration:kurvelengde.pdf|Buelengde}}\\

</infoboks>
</hidden>\\

<hidden **Regning med differensialer---en intuitiv tilnærming til derivasjon og integrasjon**>
\\
I Leibniz' framstilling av derivasjonslæren opptrer elementer av typen \(dx\), kalt **differesialer**. Mange av formlene som dukker opp i dette kapittelet kan enkelt forstås ved å tenke på Leibniz' differesialer som tall (merk: det er de faktisk //ikke//). Vi illustrerer dette med to eksempler nedenfor. 

** Integralet for buelengde **\\
Del intervallet \([a,b]\) inn i små delintervaller \(dx\), og la \(dy\) være endringen i funksjonsverdi på \(dx\). Fra Pythagoras' teorem følger det at bidraget fra intervallet \(dx\) til den totale buelengden er
\[
ds = \sqrt{dx^2+dy^2} = dx \sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2} = dx \sqrt{1+\left( f'(x) \right)^2} .
\]
Summerer vi alle bidrag \(ds\) over intervallet \([a,b]\) får vi at den totale buelengden \(s\) er
\[
s = \int_{x=a}^{x=b} ds =  \int_{a}^{b} \sqrt{1+\left( f'(x) \right)^2} \, dx.
\]
\\

**Integralet for arealet av en rotasjonsflate**\\
Anta at vi roterer grafen til \(f(x)\) for \(a \leq x \leq b\) rundt enten \(x\)- eller \(y\)-aksen. Vi deler intervallet \([a,b]\) i små delintervaller \(dx\), og vet at buelengden av grafen over \(dx\) er \(ds = dx \sqrt{1+\left( f'(x) \right)^2}\). Legg så merke til at bidraget fra \(ds\) til arealet av rotasjonsflaten er \(2\pi r \cdot ds\), der \(r\) er avstanden fra grafen til rotasjonsaksen. Ved å summere opp alle bidrag får vi at det totale arealet av flaten som fremkommer når grafen til \(f\) roteres om en koordinatakse er gitt ved 
\[
S = \int_a^b 2 \pi r \sqrt{1+\left( f'(x) \right)^2} \, dx.
\]
<infoboks fill|>
**Relevante kapitler i boka:** 7.3 \\

**Relevant eksempel: ** \\
[[https://wiki.math.ntnu.no/tma4100/2014h/tema/applicationsofintegration/examples#overflateareal_og_volum|Overflateareal og volum]] \\

**Relevant pencast:**\\
{{:tma4100:2013h:tema:7.3.34.pdf|Overflateareal av en del av et kuleskall (oppg 7.3.34 i Adams)}} (2:59)\\

**Relevant video:** \\
[[http://video.adm.ntnu.no/openVideo/pres/501fbd4846144|Lengde av plan kurve og areal av rotasjonsflate]] (20:28)\\

**Relevant Mapleark:** \\
{{:tma4100:2013h:tema:applicationsofintegration:kurvelengde.mw| }}{{:tma4100:2013h:tema:applicationsofintegration:kurvelengde.pdf|Buelengde}}\\

</infoboks>
</hidden>\\

<hidden **Masse, moment og massesenter**>
\\
Massen **M** av et legeme er gitt ved integralet av massetettheten \(\rho\) over volumet av legemet. Dersom volumet av legemet er gitt som en funksjon \(V=V(x)\), så er massen av legemet

\[ M = \int_{\mathrm{Vol}} \rho(x) \, dV = \int_a^b \rho(x) V'(x) \, dx.\]

**Momentet** \(M_c\) om punktet \(c\) til funksjonen \(f\) på \([a,b]\) er gitt ved

\[ M_c = \int_a^b (x-c) f(x) \, dx .\]

**Massesenteret** \(\bar{x}\) til et en-dimensjonalt legeme med massetetthet \(\rho = \rho(x)\), er

\[ \bar{x} = \frac{\int_a^b x \rho(x) \, dx}{\int_a^b \rho(x) \, dx} =  \frac{\int_a^b x \rho(x) \, dx}{M} .\]

**I to dimensjoner**\\
Formlene ovenfor kan generaliseres til høyere dimensjoner. La oss for eksempel se på tilfellet hvor et område i planet er avgrenset av \(a \leq x \leq b\) og \(0 \leq y \leq f(x)\), og massetettheten i ethvert punkt \((x,y)\) er \(\rho(x)\). Området har da:

i) Masse \(M = \int_a^b \rho(x) f(x) \, dx\)

ii) Moment om y-aksen \(M_{x=0} = \int_a^b x \rho(x) f(x) \, dx\)

iii) Moment om x-aksen \(M_{y=0} = \frac12 \int_a^b \rho(x) \left( f(x) \right)^2 \, dx\)

iv) Massesenter \((\bar{x}, \bar{y}) = (\frac{M_{x=0}}{M}, \frac{M_{y=0}}{M})\)

<infoboks fill|>
**Relevante kapitler i boka:** 7.4, 7.5\\

**Relevant pencast:** \\
{{:tma4100:2013h:tema:7-4-16.pdf|Massesenteret til en bøyd wire (oppg 7.4.16 i Adams)}} (2:36)\\

**Relevante videoer:**\\
[[http://video.adm.ntnu.no/openVideo/pres/501fbd4844172|Tyngdepunktet til en stav]] (10:36) \\
[[http://video.adm.ntnu.no/openVideo/pres/501fbd484a146|Tyngdepunkt for stav og plate]] (23:35) \\

**Relevant Mapleark:** \\
{{:tma4100:2013h:tema:applicationsofintegration:massesenter.mw| }}{{:tma4100:2013h:tema:applicationsofintegration:massesenter.pdf|Massesenter}}\\

</infoboks>
</hidden>\\


<hidden **Pappus' teorem**>
Når vi skal finne volumet av et omdreiningslegeme, eller arealet av en rotasjonsflate, er det noen ganger enklere å bruke **Pappus' teorem** enn å regne ut integralene angitt ovenfor. Pappus' teorem gir volumet av omdreiningslegemet (eller arealet av rotasjonsflaten) som funksjon av avstanden fra rotasjonsaksen til **sentroiden** til området (eller kurven) som roteres. Sentroiden til et område i planet er massesenteret til området gitt konstant massetetthet.  

**Pappus' teorem **\\

**(a)** La \(R\) være et område i planet. Volumet som fremkommer når \(R\) roteres om ei linje \(L\) er gitt ved 
\[
V = 2 \pi \overline{r} A,
\]
hvor \(A\) er arealet til \(R\), og \(\overline{r}\) er avstanden fra linja \(L\) til sentroiden til \(R\).

**(b)** La \(\mathcal{C}\) være en kurve i planet. Arealet av overflaten som fremkommer når \(\mathcal{C}\) roteres om ei linje \(L\) er gitt ved
\[
S = 2 \pi \overline{r} s,
\]
hvor \(s\) er lengden av \(\mathcal{C}\), og \(\overline{r}\) er avstanden fra linja \(L\) til sentroiden til \(\mathcal{C}\). 

<infoboks fill|>
**Relevante kapitler i boka: 7.5** 

**Relevant eksempel: ** \\
[[https://wiki.math.ntnu.no/tma4100/2014h/tema/applicationsofintegration/examples#pappus_teorem|Pappus' teorem]]\\

</infoboks>
</hidden>\\