MA8107 OPERATORALGEBRAER

Faglærer: Magnus B. Landstad, Toke Meier Carlsen og Christian Skau.

Uketimer: Høst: 4F+8S = 7.50 SP

Emnet ble sist forelest høsten 2006, men siste del vil være noe forskjellig fra det som ble gjennomgått da. Etter planen vil emnet foreleses neste gang høsten 2010. Forelesningene vil etter behov bli gitt på engelsk.

Forelesninger

Tirsdag 12:15-14:00 i seminar-rom 656.

Torsdag 14:15-16:00 i F6.

Anbefalte forkunnskaper

TMA4230 Funksjonalanalyse eller tilsvarende, for første del holder det med TMA4145 - Lineære Metoder.

Faglig innhold

Emnet gir en innføring i teorien for algebraer av operatorer over Hilbertrom (C*-algebraer og von Neumann algebraer). Kjernedelen tar for seg grunnlegende egenskaper som representasjoner, Gelfand-Naimarks teorem, dobbelt-kommutant-teoremet og vi vil gjennomgå noen konkrete eksempler.

Prosjekter

Det blir videre en prosjektdel hvor deltakerne velger tema selv, størrelsen på dette kan variere og det er derfor mulig å bruke dette som fordypningsemne - TMA4700 - eller starten på en hovedoppgave. For studenter som tar dette som et breddeemne vil det være mulig å velge prosjektdel med tilknytting til hovedprofilen. Aktuelle tema er:

  • Direkte grenser og approksimativt endelig-dimensjonale (AF-) algebraer, se (2), kap 5 A+B.
  • K-teori se (1), kap 7, (3) og (4), kap IV.
  • Toeplitz-operatorer og andre algebraer generert av isometrier, se (4), kap V.
  • Dynamiske systemer og kryssprodukt-algebraer (4), kap VII. En kilde her er ”Crossed Products of C*-algebras” by Dana P. Williams selv om denne går langt utover hva som forventes her.
  • Gruppe-algebraer, induserte representasjoner (2), kap 5C. Her skal en først se på de klassiske resultatene om gruppe-von Neumann-algebraer, se (6) side 433-439. Aktuelt stoff videre er gruppe-C*-algebraer i (4), kap VIII.
  • Ikke-kommutativ geometri. Numeriske beregninger av spektrum.
  • Kvantegrupper: Se (8), kap 11.
  • Knuteteori

Litt mere om fagfeltet kan du finne på denne siden utarbeidet ved Universitetet i Oslo:

http://www.uio.no/studier/program/matem-master/presentasjon/retninger/operator_algebraer.html

For gode råd fra en av de store C-stjernene, se

http://www.alainconnes.org/docs/Companion.pdf

Lærebøker

(1) “C*-algebras and operator theory” av Gerard J. Murphy.
    Boston : Academic Press, c1990.
    ISBN: 0-12-511360-9
(2) "An introduction to C*-algebras" av Pierre de la Harpe og Vaughan Jones.
    Fåes kjøpt på instituttkontoret, kr 50.

Temaer fra prosjektdelen finnes i følgende bøker som vil bli reservert i biblioteket(?):

(3) ”An introduction to K-theory for C*-algebras” av M. Rørdam, F. Larsen, N. Laustsen.
    London Mathematical Society student texts ; 49
    Cambridge : Cambridge University Press, 2000.
    ISBN: 0-521-78334-8 (ib.), 0-521-78944-3 (h.)
(4) ”C*-algebras by example” av Kenneth R. Davidson.
    Fields Institute monographs ; vol. 6
    Providence, R.I. : American Mathematical Society, c1996.
    ISBN: 0-8218-0599-1 (ib.)
(5) ”A short course on spectral theory ” av William Arveson.
    Graduate texts in mathematics ; 209
    New York : Springer, c2002.
    ISBN: 0-387-95300-0 (ib.)
(6) “Fundamentals of the theory of operator algebras” av Richard V. Kadison, John R. Ringrose.
    Tittel: Elementary theory. Bind nr: 1 Trykt: 1983.
    ISBN: 0-12-393301-3, 0-12-393304-8
(7) “Theory of operator algebras” av Masamichi Takesaki. 
    I serie: Encyclopaedia of mathematical sciences ; 124-125, 127 
    Operator algebras and non-commutative geometry
    Springer-Verlag, c1979- .
(8) ”Mathematical quantization” av Nik Weaver.  
    I serie: Studies in advanced mathematics : 
    Chapman & Hall/CRC, c2001. Sidetall: XI, 278 s. : ill. 
    ISBN: 1-58488-001-5

Pensum

Pensum er det som er blitt gjennomgått til forelesningene.

Det er omtrent følgende:

“C*-algebras and operator theory” av Gerard J. Murphy:

Kap. 1: del 2-3 (unntagen eksemplene og Theorem 1.2.9).

Kap. 2: del 1-3 (unntagen Lemma 2.1.4. Theorem 2.1.5 og Theorem 2.1.12).

Kap. 3: del 1 (unntagen Example 3.1.1, Remark 3.1.1, Theorem 3.1.8, Example 3.1.2 og Example 3.1.3), del 3 (unntagen Example 3.3.1 og 3.3.2, Teorem 3.3.9 og 3.3.10) og del 4 t.o.m. Thm 3.4.1.

Kap. 4: t.o.m. Thm. 4.1.7.

"An introduction to C*-algebras" av Pierre de la Harpe og Vaughan Jones:

Kap. 1 og 2: Hele.

Kap. 3A.

Kap. 4A-E (unntagen 4.1, 4.4, 4.6, 4.7, 4.9, 4.16, 4.17,, 4.19, 4.23, 4.27, 4.28, 4.33, 4.34, 4.38 og 4.39).

Kap. 5AB t.o.m. 5.14.

Kap. 6ABC t..o.m. 6.25 (unntagen 6.5-6.8, 6.10, 6.12, 6.13 og 6.15-6.16).

Forelesnings plan (foreløpig)

Uke Tema Litteratur
36 Introduksjon Kap. 1 i de la Harpe og Jones
37 Endelig dimensjonale operator-algebraer Kap. 2 i de la Harpe og Jones
38 Endelig dimensjonale operator-algebraer Kap. 2 i de la Harpe og Jones
39 Kompakte operatorer/Abstrakte C*-algebraer Kap. 3A og 4A i de la Harpe og Jones
40 Abstrakte C*-algebraer og spektra Kap. 4A-C i de la Harpe og Jones og kap. 1.1, 1.2 og 2.1 i Murphy
41 Spektra, Gelfands teorem og positive elementer i en C*-algebra Kap. 4B-E i de la Harpe og Jones og kap. 1.2-1.3 og 2.1-2.2 i Murphy
42 Idealer og positive lineære funksjonaler Kap. 6A i de la Harpe og Jones og kap. 3.1 og 3.3 i Murphy
43 GNS-konstrusjonen Kap. 6B i de la Harpe og Jones og kap. 3.4 i Murphy
44 Kaplansky tetheds teorem/Kadisons irredusibilitetsteorem , AF-algebraer Kap.6C og Kap.5A-B i de la Harpe og Jones
45 AF-algebraer Kap. 5A-B i de la Harpe og Jones
46 AF-algebraer Kap. 5A-B i de la Harpe og Jones
47 AF-algebraer Kap. 5A-B i de la Harpe og Jones

Oppgaver

Eksamen

Eksamen er muntlig og finner sted torsdag 27. november i rom 822, 8. etg. Sentralbygg II, Gløshaugen.

Tidsplan:

  • Kl. 9.00 Magnus Dahler Norling
  • Kl. 10.00 Trond Ånen Omland
  • Kl. 11.00 Siri-Malen Høynes

Eksaminator er Magnus Landstad, og sensor er Christian Skau.

2008-11-25, tokemeie