MA1102 våren 2012 – Øvinger
Øvingene er obligatoriske og en del av pensum. For å kunne ta eksamen kreves 8 av 12 øvinger godkjent. Differansen mellom 8 og 12 er for å håndtere underkjente øvinger, sykdom og annet fravær. Ta kontakt hvis du kommer i faresonen (mangler 3–4 øvinger) slik at vi finner en løsning før det eventuelt går galt.
Innleveringssted for øvingene er 3.etg nordre lavblokk, sentralbygg 2.
Oversikt over antall godkjente øvinger
Dette kan du få tilsendt på epost ved å gå inn her.
Innleveringsfrister
Første øving vil ha innleveringsfrist mandag 23/1, kl. 1600.
Fra og med øving 2, er innleveringsfristen kl. 1600 to dager etter veiledning (altså, veiledning på tirsdag betyr innleveringsfrist torsdag kl. 1600; for de med veiledning på fredag, er fristen tirsdag kl. 1600).
Veiledning
Det er ukentlig veiledning. Her får du muligheten til å diskutere både øvingsoppgavene og andre spørsmål. Tenk gjennom på forhånd hva du vil få ut av veiledningstimen. Jo bedre forberedt du er til en veiledningstime, jo mer får du ut av den.
Oppgavene til den første øvingen legges ut i løpet av første undervisningsuke. Første veiledningstime blir uken etter. Gruppeinndeling for veiledningen og oppgavene vil etterhvert komme på en egen side.
Øvingsoppgaver
Oppgavene er hentet fra 7. utgave av Adams. Hvis en oppgave har forskjellig oppgavenummer i 6. og 7. utgave vil oppgavenummeret i den 6. utgaven stå i parentes.
| Øving | Veiledningsuke | Oppgaver | |
|---|---|---|---|
| 13 | – | «Amnestiøving» for de som har bare 7 godkjente øvinger. Se pdf-fil. Det blir ingen veiledning på denne øvingen! Innleveringsfrist fredag 11. mai. kl 1700. (Leveres i innleveringshyllene i nordre lavblokk, 3.etg SBII som vanlig.) | |
| 12 | 16 | Siste øving | |
| 6.6 | 11 | ||
| For henholdsvis trapesmetoden, midtpunktmetoden og Simpsons metode, finn en passe stor \(n\) slik at metoden med \(n\) delintervaller gir \(\int_0^1 e^{-x^2}\,dx\) med nøyaktighet bedre enn \(10^{-4}\). (Du trenger ikke regne ut tilnærmingene til integralet.) | |||
| 6.8 | 1, 7, 9, 11 (Hint for nummer 11: Det er nok å få rett svar for \(x^3\), \(x^2\), \(x\) og \(1\).) | ||
| 17.3 | 1(a), 2(a) (med andre ord, kun \(h=0.2\)) Finn også den eksakte løsningen, og sammenlign tilnærmingene med den eksakte løsningen. |
||
| – | 15 | Ingen øvingsveiledning uken etter påske | |
| – | Utfordring (ingen levering – ingen veiledning): Prøv å finne en god strategi for å finne en numerisk verdi for integralet \[\int_0^\infty \sin\frac1{x^2}\,dx. \] |
||
| 11 | 13 | 17.7 | 2, 3, 6, 7 |
| 4.2 (6ed: 4.6) | 11 (6ed: 5) | ||
| 8.6 | 19 | ||
| 10 | 12 | De fleste oppgavene er hentet fra eksamensoppgaven i desember 2010, og er denne gangen lagt ut som en pdf-fil. | |
| 9 | 11 | Vi tar med noen repetisjonsoppgaver i denne runden. Fordi denne øvingen er lagt ut sent, utsettes innleveringsfristen med en dag. Øvingen er også gjort litt kortere. |
|
| 9.8 | 4 | ||
| 9.9 | 5, 13, 14 | ||
| Bruk resultatet fra 9.9.13 til å bestemme verdien av \[S=\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^2}.\] Hint: Vis at \[\tfrac14S=\sum_{n=1}^\infty\frac1{(2n)^2},\] og bruk det til å vise at \(s+\frac14S=S\), der \(s\) er summen fra 9.9.13. | |||
| 8.4 | 16 | ||
| 9.7 | 18 (og beregn \(L(\pi/2)\) med nøyaktighet bedre enn 0,005) | ||
| En kurve er gitt på parameterform ved \[x=\int_0^t\cos(s^2)\,ds,\quad y=\int_0^t\sin(s^2)\,ds.\] Finn buelengden av kurven fra origo til første sted på kurven (med \(t>0\)) der kurven har vertikal tangent. | |||
| 8 | 10 | 9.6 | 11, 15, 17, 33, 37 |
| 9.7 | 3, 15, 17 | ||
| Følgen av Fibonaccitall \(\{1,1,2,3,5,8,\ldots\}\) er definert ved at \(F_0=F_1=1\), og \(F_n=F_{n-1}+F_{n-2}\) for \(n=2,3,\ldots\). Det er lett å vise ved induksjon at \(F_n\le2^{n-1}\) for \(n\ge1\) (du trenger ikke gjøre det). La \(f(x)=\sum_{n=0}^\infty F_nx^n\). Vis at rekken har positiv konvergensradius, og at \(f(x)=1/(1-x-x^2)\). (Hint: Samle sammen like potenser av \(x\) i produktet \((1-x-x^2)f(x)\).) | |||
| Vis at om \[a_n=\int_{n}^{n+1}\frac{dx}{x}-\frac{1}{n+1},\quad n=1,2,\ldots\quad\text{så er}\quad 0<a_n<\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1},\] og summen \(\sum_{n=1}^\infty a_n\) konvergerer. Bruk dette til å vise at grensen \[\lim_{n\to\infty}\Bigl(1+\frac12+\frac13+\cdots+\frac1{n}-\ln n\Bigr)\] eksisterer. (Grensen kalles gjerne Eulers konstant, eller Eulers gamma. Den har verdien \(\gamma=0{,}57721\ldots\).) | |||
| 7 | 9 | 9.4 | 11, 27, 28 |
| 9.5 | 1, 4, 8, 21, 24, 28, 32 | ||
| Vis at \[\lim_{n\to\infty}\;\lim_{x\to0}\frac{1}{(1+x^2)^n}\ne\lim_{x\to0}\;\lim_{n\to\infty}\frac{1}{(1+x^2)^n}\] ved å regne ut begge sider. (Hint: Når du skal regne ut den innerste grensen på høyre side kan du utnytte at \(x\ne0\).) (Dette eksemplet viser at du ikke alltid kan bytte om grenser. Det er relevant i forbindelse med derivasjon av potensrekker. Ser du hvorfor?) |
|||
| 6 | 8 | 9.2 | 28–31 |
| 9.3 | 2, 3, 7, 11, 28, 31 | ||
| 9.4 | 1, 3, 5, 14 | ||
| 5 | 7 | 9.1 | 2, 4, 11, 24, 27, 36, og samme spørsmål som 1–13 for \(\{\sqrt{n}+(-1)^{n}\}\) |
| 9.2 | 2, 3, 10, 12, 21, 22 | ||
| Utfordring (høyst frivillig, men anbefalt): Diskutér oppgave 3.3.54. Legg merke til at du får et problem om \(a\) er for stor, men hvor stor er for stor? Alle burde kunne komme i gang med oppgaven (det kan hende du trenger et lite hint helt i starten), men hvis du prøver å gå i dybden, kan det fort bli *svært* utfordrende. | |||
| 4 | 6 | 4.2 (6ed: 4.6) | 1 (6ed: ikke tilgjengelig), 6 (6ed: ikke tilgjengelig), 14 (6ed: 8), 15 (6ed: 9), 20 (6ed: 14), 22 (6ed: 16) |
| 4.10 (6ed: 4.8) | 21, 25 | ||
| Begrunn disse regnereglene for stor O-notasjon (alle i grensen \(x\to0\)): \(x^m=O(x^n)\) når \(m\ge n\), \(O(x^m)\cdot O(x^n)=O(x^{m+n})\), og \(O(x^n)+O(x^n)=O(x^n)\). (De to siste må tolkes litt: Den siste av disse reglene betyr egentlig at dersom \(f(x)=O(x^n)\) og \(g(x)=O(x^n)\) så er \(f(x)+g(x)=O(x^n)\). Man må passe nøye på her, fordi \(O(x^n)\) ofte står for en forskjellig størrelse fra gang til gang, til og med i samme formel!) |
|||
| Bruk Maclaurinpolynomene av tredje grad til \(e^x\) og \(\sin x\) til å finne Maclaurinpolynomet av tredje grad til \(e^x\cdot\sin x\). Begrunn svaret. | |||
| 3 | 5 | 4.9 (6ed: 4.7) | 5, 9, 12, 17, 19, 21 |
| 4.10 (6ed: 4.8) | 1, 3, 9, 12, 19, 25 | ||
| 2 | 4 | 8.4 | 15, 17 |
| 8.5 | 23, 27, 29, 31 | ||
| 8.6 | 7, 11, 17 | ||
| En kurve er gitt på polar form ved \[r=\frac{\theta}{\pi-\theta},\qquad\theta\in[0,\pi).\] Vis at kurven har vertikal tangent kun i ett punkt og horisontal tangent kun i origo*. Kurven har en horisontal asymptote. Finn denne, og skissér kurven. *Det med den horisontale tangenten kan være vrient å vise, og får stå som en ekstra utfordring: Det gjør ikke noe om du ikke får det til. |
|||
| 1 | 3 | 8.2 | 5, 19, 22 |
| 8.3 | 5, 6, 15, 19, 25 | ||
| 8.4 | 1, 7 | ||